Las órbitas

A principios del s. XVII el astrónomo y matemático alemán Johannes Kepler formuló tres leyes que describían a la perfección el movimiento planetario. Fue algo a lo que dedicó su vida.

Utilizó para ello las mediciones más exactas conseguidas hasta entonces, logradas por Tycho Brahe. Sin embargo, Kepler empezó anteponiendo sus profundas convicciones teológicas que le hacían pensar que los movimientos planetarios debían ser circulares, puesto que el círculo es símbolo de la perfección, y estar regidos por la armonía geométrica. A pesar de ello terminó dándose cuenta de que por más que aplicara las ecuaciones del círculo, siempre encontraba que las posiciones planetarias observadas diferían algo de él. No le quedó más remedio que abandonar su idea de la perfección y autoconvencerse: "Si los planetas son lugares imperfectos, ¿por qué no pueden de serlo también sus órbitas?"

Entonces aplicó la fórmula de la elipse. Y la elipse encajaba. Las posiciones de los planetas seguían esa curva, no había duda.

¿Cómo es una elipse? A difencia del círculo, definido porque cada punto está a la misma distancia de un punto central, la elipse se describe a partir de dos puntos llamados focos. Si medimos la distancia de cualquier punto de la elipse a cada uno de los focos, encontramos que es siempre la misma.

En el caso de las órbitas elípticas de los planetas, resultó que el Sol ocupaba siempre uno de los focos. Y esa es la primera ley de Kepler.

La segunda ley nos dice que el radio que une el planeta y el Sol barre areas iguales en tiempos iguales. Pensémoslo un poco. En primer lugar, la velocidad de un planeta dentro de su órbita elíptica no es fija, sino que es mayor cuanto más cerca del Sol se encuentra. Kepler además halló que para un mismo intervalo de tiempo, el área barrida es la misma:

Unos años más tarde, el propio Kepler añadió una tercera ley que nos viene a decir que cuanto más alejado esté un planeta del Sol más tiempo tardará en recorrerlo. De todas formas Kepler lo que dijo sólo se expresa en lenguaje matemático:

Siendo T el tiempo que tarda el planeta en dar una vuelta completa a la órbita, y a el semieje mayor de la elipse.

Estas tres leyes sirven aún hoy para calcular las posiciones de los planetas, de los satélites, etc, aunque son leyes formuladas empíricamente, obtenidas únicamente a través de la observación. Son leyes sencillas y cómodas que describen lo observado, sin un razonamiento previo que nos lleve a ellas.

Sólo 69 años después Isaac Newton formuló su Ley de la Gravitación Universal, una ley que explicaba las tres leyes de Kepler y revolucionaba la física: dos cuerpos con masa se atraen entre sí con una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. La fuerza con la que se atraen dos cuerpos está relacionada con la distancia entre ellos, y es mayor cuanto más cerca estén.

¿Qué tiene esto que ver con las órbitas? Pensemos. Si cojo una piedra y la tiro en horizontal, según lo fuerte que la tire alcanzará una distancia. La piedra cae inexorablemente atraída por la Tierra (en realidad la piedra también atrae a la Tierra según nos dice Newton) pero si soy capaz de lanzarla fuerte recorrerá una buen trecho. Si no aplico ninguna fuerza sobre la piedra, ésta cae sin más a mis pies.

Lo mismo ocurre con los planetas. Sus órbitan son el resultado del equilibrio de la fuerza de gravedad, que los haría caer al Sol, y de la inercia tangencial que los haría alejarse de él en linea recta. Si de repente desapareciera el Sol, y con él su fuerza de atracción por gravedad, el planeta continuaría desplazándose con una trayectoria en linea recta.

Por el contrario, si los planetas no tuvieran una inercia que los llevara a alejarse del Sol tangencialmente, caerían al Sol como mi piedra a los pies.

Nos quedaría por resolver un asunto: ¿de dónde proviene esa fuerza de inercia tangencial? Realmente no hay nada que tire del planeta hacia delante, sino que es un moviento que tiene el planeta en esa dirección desde que se formó. Esto nos lleva a otra clave de este asunto, y es la ley de conservación del momento angular. No asustarse. Se trata de que todo cuerpo en movimiento circular posee una energía intrínseca de rotación que permanece constante. La ley asocia linealmente la masa, la velocidad y el radio, de modo que si cambio el radio (por ejemplo, al describir una elipse) la velocidad debe variar.

Quizás nos cueste entender esto un poco, pero démosle la vuelta a la forma de verlo. Sólo perduran en el tiempo los planetas que tienen una inercia tangencial. Los que no, caen al Sol tarde o temprano en trayectorias espirales.

Hoy estas tres leyes de Kepler más la de la gravitación universal de Newton se siguen aplicando para los cálculos de las órbitas de los satélites y de las sondas interplanetarias. La mayoría de éstas últimas consumen toda la energía que les dan los cohetes en muy poco tiempo tras el lanzamiento. Puesto que en el espacio no hay aire ni rozamiento, la velocidad que han adquirido cuando se consume la última gota de combustible de los cohetes se mantiene ya siempre constante salvo que la propia gravedad acelere la nave.

De esta forma, cuando se trata de hacer llegar muy lejos a una nave, por ejemplo a Saturno, en vez de hacerla dirigirse hacia ese planeta directamente lo que se hace es llevarla antes a las cercanías de otros planetas menos distantes, que con su gravedad la acelerarán y así, a pesar de recorrer una mayor distancia, la nave llegará a su destino final en menos tiempo. Las leyes de Kepler, Newton y la conservación del momento angular serán sus únicos motores.

La Estación Espacial Internacional, en órbita baja de la Tierra.

Una elipse se define porque la suma de las dos lineas rectas trazadas desde los dos focos (los dos puntos en el croquis) es constante. Kepler demostró que las órbitas de los planetas alrededor del Sol son elípticas, ocupando el Sol uno de sus focos.

La segunda ley de Kepler: las áreas barridas por un planeta en su órbita en un mismo intervalo de tiempo son iguales. Esto implica que para que se pueda cumplir, el planeta se moverá más deprisa cuanto más cerca del Sol esté, y viceversa.

Con la Ley de la Gravitación Universal de Newton queda explicado por qué los planetas siguen órbitas. La órbita es la resultante entre las fuerzas de atracción gravitatoria entre el planeta y el Sol, y la inercia tangencial que lo haría desplazarse eternamente en línea recta si el Sol desapareciera.

Órbitas de los planetas del Sistema Solar.

En este video podeis ver el carambolesco viaje de la sonda Rosetta hasta el cometa 67P/Churyumov-Gerasimenko, que le ha llevado 12 años. Cada vez que se acerca a un planeta, la sonda se acelera y cambia de trayectoria por conservación del momento angular. La velocidad que gana en cada una de estas maniobras nunca la pierde. Ah, y el cálculo hay que hacerlo muy exacto cuando lanzas la sonda, porque después no habrá posibilidad de corregir la trayectoria.